Het komt niet vaak voor dat een promovendus volledig op eigen houtje een extra project op zich neemt – en oplost. Toch gebeurde het de 26-jarige Amerikaanse promotiestudent Jared Duker Lichtman, met zijn bewijs voor een wiskundig vermoeden dat meer dan dertig jaar onopgelost was.

‘Het is de droom van iedere promotor’, zegt Frits Beukers, emeritus hoogleraar aan de Universiteit Utrecht, niet verbonden aan het onderzoek van Lichtman. ‘Als je studenten hebt die doen wat je verwacht is dat leuk, maar dit is een student die zelfstandig iets super-unieks heeft gedaan.’

Ook Lichtman is nog in de wolken: hij kan nog steeds geëmotioneerd raken als hij terugdenkt aan het moment waarop hij zich opeens realiseerde hoe hij zijn bewijs rond kon krijgen. ‘Het was zo’n mooi moment. Ik kon alleen nog maar aan dit probleem werken’, vertelt hij met een brede glimlach. ‘Ik liet alles vallen.’

En dat ‘alles’ is nogal wat: als PhD-student wiskunde aan de Universiteit van Oxford heeft Lichtman genoeg om handen. Toch vond hij tijd, ‘s avonds, tijdens weekenden en in vakanties, om aan zijn obsessie te werken: een tweeëndertig jaar oud vraagstuk over priemgetallen.

‘Als je me een jaar geleden had gevraagd of ik het zou bewijzen, had ik nee gezegd’, vertelt hij. Maar toch kon hij het niet laten eraan te werken: ‘Ik vond het al lang leuk om aan zo’n mooi probleem te werken. Als ik een tijdje niets deed, begon ik er automatisch aan te denken.’

Vermoedens

Vier jaar lang probeerde Lichtman een wiskundig vermoeden te bewijzen. Het vermoeden in kwestie werd in 1988 geformuleerd door de illustere Hongaarse wiskundige Paul Erdős (1913–1996). ‘Niemand had meer ideeën dan hij’, zegt Lichtman. De zogeheten ‘Erdős-vermoedens’ zijn een begrip onder wiskundigen: ‘Het zijn kleine pareltjes, hele korte en soms zelfs simpele uitspraken, waar altijd een ongelofelijke diepgang in schuilt.’

Het Erdős-vermoeden waar Lichtman zich op wierp komt uit het domein van de getaltheorie, de studie van gehele getallen. Het gaat over ‘primitieve verzamelingen’, van getallen die niet door een ander uit de verzameling te delen zijn, zonder dat het een breuk of kommagetal oplevert (breuken en kommagetallen ‘tellen’ niet in de getaltheorie). De getallen 1001 tot 2000 vormen bijvoorbeeld een primitieve verzameling, omdat geen van de getallen een ander kan delen.

De getallen in dat voorbeeld, 1001 tot 2000, volgen elkaar allemaal direct op. Andere primitieve verzamelingen bestaan weer uit getallen die verder uit elkaar liggen. Erdős bedacht een formule om de ‘dichtheid’ van een primitieve verzameling, hoe dicht de getallen in zo’n verzameling bij elkaar liggen, mee te berekenen. Die dichtheid is één getal en is uniek voor elke primitieve verzameling.

Erdős begon in de vroege twintigste eeuw te denken dat één bepaalde primitieve verzameling de grootst mogelijke dichtheid zou kunnen hebben. In 1988 kwam hij met zijn ‘officiële’ vermoeden: de verzameling met maximale dichtheid is de verzameling van priemgetallen, de getallen die alleen door 1 en zichzelf deelbaar zijn.

Bouwstenen

Ergens voelt het vermoeden misschien logisch: primitieve verzamelingen bevatten getallen die elkaar niet kunnen delen, precies wat priemgetallen ook definieert. Is het dan niet logisch dat de verzameling van priemgetallen de grootst mogelijke primitieve verzameling zou zijn? ‘Nee, je kunt niet zomaar aannemen dat er geen andere, nog grotere primitieve verzameling zou kunnen bestaan’, zegt Frits Beukers. ‘Het is worstelen met oneindigheden.’

Dat intimideerde Lichtman niet, integendeel: ‘Ik werd er totaal door gegrepen, zo mooi vond ik het vermoeden’, zegt Lichtman. ‘Ik kon nauwelijks geloven dat het waar zou kunnen zijn.’

‘Priemgetallen zijn de bouwstenen van alle andere getallen’, legt Lichtman uit. ‘Elk geheel getal is ofwel een priemgetal, ofwel een unieke vermenigvuldiging van priemgetallen.’ 14, bijvoorbeeld, is gelijk aan 2x7, allebei priemgetallen. Dat de bouwstenen van de gehele getallen zouden verschijnen als grootst mogelijke primitieve verzameling, is daarom prikkelend.

De strategie achter Lichtmans bewijs was om de reeksen getallen in primitieve verzamelingen op een slimme manier te rangschikken, als woorden in een woordenboek. Alleen op die manier kon hij de oneindigheden van verzamelingen en hun dichtheden behapbaar maken. Erdős had zijn eigen methode voor het maken van zo’n rangschikking, maar die verloor steeds wat informatie over de primitieve verzameling, zoals woorden in een vertaling hun waarde kunnen verliezen.

‘In mijn bewijs heb ik het werk van Erdős verder uitgewerkt en een andere methode van ‘vertalen’ bedacht’, zegt Lichtman. Met die methode kon Lichtman alle primitieve verzamelingen perfect koppelen aan hun dichtheden. Zo lukte het om priemgetallen te onderscheiden als de grootste primitieve verzameling.

Beukers vindt het een bewijs van de hoogste plank: ‘Priemgetallen worden al millennia bestudeerd, het gebeurt niet vaak dat wiskundigen nog zulke fundamentele vermoedens kunnen bewijzen.’

Succes

In totaal werkte Lichtman zo’n vier jaar aan zijn bewijs. Hij ontdekte het na zijn bachelorscriptie te hebben afgerond, dat over een vergelijkbaar onderwerp ging. ‘Tijdens al die jaren heb ik het op allerlei manieren geprobeerd te bewijzen, en hoewel het meeste mislukte, was alles op zichzelf al interessant’, zegt hij. Een aantal van die zijpaden hebben tot hun eigen onderzoeken geleid, waar Lichtman zich inmiddels op stort.

Lichtman hield zijn werk aan het vermoeden grotendeels voor zichzelf – hij kon immers niet weten of hij überhaupt wel een bewijs zou vinden, en moest ondertussen wekelijks de vooruitgang van zijn PhD-onderzoek presenteren aan zijn promotor. ‘Ik voelde me schuldig, dat ik zo nu en dan aan mijn hobbyproject werkte in plaats van aan mijn proefschrift.’

Bovendien waren andere grote namen hem zonder succes voorgegaan. Dat deed Lichtman niets: ‘Dit was niet de eerste keer dat hij een probleem dat anderen niet konden oplossen, zonder twijfelen aanpakt’, zegt Carl Pomerance, een getaltheorist die het talent van Lichtman op vroege leeftijd herkende, en hem informeel begon te begeleiden. ‘Jared is een bescheiden persoon, maar een brutale wiskundige.’